@Deep_Value jo vastasikin hyvin, mikä on CAGR (geometrinen tuotto) ja aritmeettisen tuoton ero.
CAGR on se, mitä käytännössä kaikki korkoa korolle tuottoja tavoittelevat mittaavat ja CAGR tuottoon tosiaan vaikuttaa sekä (aritmeettinen) tuotto, että tuottojen volatiliteetti eli heilunta.
Kirjoitin jokin aika sitten blogiini pitkän (teoreettisen) jutun Kellyn kriteeristä ja sen soveltamisesta osakemarkkinoille. En tiedä saako foorumille linkata omia blogeja, joten jätän linkin pois. Mutta tuossa alla kuva, mikä kiteyttää asian.
Kuva kertoo, että geometrinen tuotto-odotus (CAGR-odotus) kasvaa vivun mukana, mutta kasvu hidastuu jatkuvasti ja kääntyy lopulta negatiiviseksi (x-akseli on volatiliteetti, joka kasvaa sijoitusasteen kasvaessa. Eli kun sijoitusastetta kasvatetaan, ja mennään vivulle, osakesalkun volatiliteetti kasvaa suorassa suhteessa vipuun). Käytännössä paraabelin vihreä nouseva osa on järjellinen alue sijoittajalle, koska harva haluaa pienempää CAGRia, joka lopulta kääntyy odotusarvoisesti tappiolle, samalla kun volatiliteetti kasvaa (punainen katkoviiva).
Maksimi CAGR-odotus saavutetaan ns. full Kelly -allokaatiolla, joka saavutetaan täsmälleen silloin, kun osakesalkun volatiliteetti on yhtä suuri kuin salkun Sharpen luku. Ja teoreettinen maksimi (geometrinen) riskittömän koron ylittävä tuotto-odotus (geometrinen riskilisä) on tuossa pisteessä tarkalleen Sharpen luvun neliö jaettuna kahdella. Eli jos Sharpe on 0.5, niin suurin saavutettavissa oleva annualisoitu geometrinen tuotto vivuttamalla on 0.5^2/2 = 12.5%. Jos Sharpe on 1, niin silloin suurin mahdollinen vivutettu tuotto on 50% per vuosi. Jos salkun volatiliteetti on 0.25 (25%), niin silloin mainitut maksimituotot saavutetaan vipukertoimilla 0.5/0.25 = 2 ja 1/0.25 = 4. Tässä on oletuksena, että lainan hinta vivulle on sama kuin riskitön korko, joka tietysti on liian halpaa ollakseen totta oikeassa elämässä. Nämä ovat siis teoreettisia ylärajoja maksimituotolle.
Vihreä nouseva osuus paraabelista kuvassa on korkein riskikorjattu tuotto, minkä sijoittaja voi saavuttaa. On kuitenkin mahdollista saavuttaa korkeampi CAGR-odotus valitulla osakeallokaatiolla (joka on alle Kelly-allokaation), kuin maksimi-Sharpen omaava salkku saavuttaa. Mutta ei ole mahdollista saavuttaa korkeampaa riskikorjattua (CAGR suhteessa volatiliteettiin) CAGR-odotusta kuin maksimi-Sharpen salkku. Ja absoluuttisesti korkein CAGR-odotus (full Kelly allokaatiolla) saavutetaan aina maksimi-Sharpen omaavalla salkulla vivuttaen.
Perinteinen rahoitusteoria mittaa aritmeettisia tuottoja geometrisien sijaan. Kuvassa sininen aritmeettisten tuottojen suora nousee kohti ääretöntä, kun sijoitusaste (ja vipu) kasvaa kohti ääretöntä. Sininen suora on totta tuotoille, jotka eivät kasva korkoa korolle tai vaihtoehtoisesti korkoa korolle -tuotoille, joiden volatiliteetti on nolla. Eli ei relevantteja sijoittajalle, joka haluaa hyötyä korkoa korolle -ilmiöstä.
Vielä sellainen huomio, että Kellyn kriteerin kaavat antavat tuotot aina ns. continuous compounding -muodossa. Jos halutaan muuttaa tuotot yleisesti käytetyiksi vuosittaisiksi CAGR-lukemiksi, niin se voidaan tehdä kaavalla exp(tuotto) – 1. Eli esimerkiksi exp(0.125) – 1 = 13.3% ja exp(0.5) – 1 = 64.9%. Eli pienillä tuotoilla ero on pieni, mutta kasvaa kun tuotot kasvavat.
Tuossa alla vielä teoreettinen geometrinen riskilisä (geometrinen tuotto miinus riskitön korko) USAn markkinoilla eri toimialoille mitattuna. Suora on teoreettinen arvo ja pallot ovat empiirisestä datasta vivuttamalla etsittyjä maksimituottoja. Kuvasta nähdään, että teoria pätee käytännössä täydellisesti pitkällä aikavälillä.
Ja tuossa alla vielä kuva, missä näkyy paraabelit jokaiselle toimialalle.